سایت تخصصی پایان نامه های دانشگاهی

مفاهیم توپولوژیک هندسی در دوره ابتدایی:
عبور کودکان از مرحله ی پیش عملیاتی و حرکت آن ها به سمت مرحله ی عملیاتی در تئوری رشد شناختی پیاژه، سبب می شود تا آموزش مفاهیم هندسی نیز از توپولوژیک به سمت هندسه ی اقلیدسی گسترش یابد. در این زمینه چهار مرحله ی توپولوژیک که به کودکان کودکستانی و ابتدایی اختصاص دارد، عبارت اند از: مجاورت، تفکیک، ترتیب و بسته بودن. این چهار مرحله به فعالیت های هندسی و شناخت اعداد و شمارش آن ها اختصاص دارد.
مجاورت: مجاورت به نزدیکی یک شیء به شیء دیگر اشاره دارد. کودکان به طور طبیعی به اشیای نزدیک خود علاقه مند هستند؛ زیرا می توانند آن ها را لمس و دستکاری کنند. در مرحله ی حسی حرکتی، کودک به اشیایی که دور از دسترس او قرار دارد، علاقه ی کمتری نشان می دهد، مگر اینکه جسم دور از دسترس، متحرک، درخشنده و چشمگیر باشد. اشیایی که دور از دید کودک قرار دارد، در ذهن کودک هستی پیدا نمی کند. توجه کودک به تدریج به فعالیت هایی که برای تشخیص اشیای خارج از میدان دید به آن ها کمک می کند، جلب می شود و بین دوری و نزدیک تفاوت می گذارند و رابطه ی آن ها را بر حسب نزدیکی به هم در ذهن خود بارور می کنند. هر گاه کودک مجموعه ای از اطلاعات را طبقه بندی کند یا مجموعه ای از مهره ها را مانند الگوی داده شده در یک رشته نخ مرتب کند، می توانید چنین سؤالاتی از او بپرسید: «کدام مهره ی مشکی از مهره ی آبی دورتر است؟»، «کدام اتومبیل قرمز به اتومبیل سبز نزدیک تر است؟»
تفکیک: تا کودکان به مرحله تفکیک نرسند، نمی توانند بین اجزای اشیاء تفاوت بگذارند. در این مرحله، تمام قسمت های یک شیء در ذهن کودک نقش می بندد. طرح ها و نقاشی های کودک و رشد کودک در تفکیک اجزا را نشان می دهد. کودک در حین نقاشی صورت انسان، اجزای صورت را در مکان اصلی قرار می دهد.
ترتیب: فعالیت های مستمر و متوالی،که موضوع هایی مجزا و طبقه بندی شده دارند، به کودکان در درک ترتیب کمک می کنند. در طول این دوره از فعالیت ها، کودکانی که در آغاز توانایی الگوبرداری از روی یک مدل را داشتند، ممکن است موفق به ترتیب عکس الگو نشوند. کودکان در صورتی قادر به انجام دادن این کار خواهند شد که معلم راهنمایی لازم را ارائه داده باشد.
بسته بودن: بسته بودن، موقعیت یک نقطه بین دو نقطه روی خط، یک نقطه بین منحنی بسته روی صفحه و نقطه ای بین فضایی بسته را شامل می شود. بسته بودن روی خط بیشتر مورد توجه کودکان قرار می گیرد، چون بیشتر با آن برخورد می کنند. برای مثال، کودکان در شمارش اعداد، در مورد یک عدد که بین دو عدد قرار دارد، می توانند بگویند که آن عدد بین دو عدد دیگر محصور شده است (اسیتوتیپس[۳۳]، ۱۳۷۵، ص ۵۳ و ۵۴).
اوریگامی[۳۴]:
اوریگامی یا کاغذ تا شده یا بنا به قول مردم ایران کاغذ و تا، هنر تا کردن کاغذ برای به وجود آوردن اشکال و اشیای تزیینی و حتی وسایل مصرفی و سرگرمی های کودکانه است. سابقه ی این هنر سنتی از بازی های ساده کودکانه آغاز می شود و به هنری پیچیده می رسد. هنر اوریگامی در آیین ها و رسوم خاص ژاپنی و همچنین برای مصارف آموزشی، تفریحی و علمی کاربرد دارد. امروزه در بسیاری از سازه های فضایی، در صفحات خورشیدی ماهواره ها و سقف های تا شونده، از این علم استفاده می کنند (علاء الدینی، ۱۳۸۳، ص ۹۱).
اوریگامی چیزی بیش از تا کردن کاغذ است، ابزاری برای تدریس دانش آموزان در مورد هندسه است. دانش آموزان هنگام کار با کاغذ با مفاهیم ریاضیاتی همانند خطوط هندسه، تجانس و ویژگی های شکل مواجه می شوند. خطوط هندسه در اوریگامی در زمانی که دانش آموزان کاغذ مربع را دقیقاً به نیم تا می کنند کاوش می شوند زیرا که هر دو سمت دقیقاً یکسان می باشند. اولیه مرحله برای ایجاد اریگامی ایجاد اریگامی قورباغه است که استفاده از تقارن را نشان می دهد. کاغذ دقیقاً به صورت عمودی به نیم تا می شود. اریگامی ویژگی های مختلفی از اشکال به دانش آموزان نشان می دهد مثلاً زمانی که مربع به نیم تا می شود تا دو مستطیل را تشکیل دهد. یک بار دیگر مرحله اول برای ساخت قورباغه استفاده از ویژگی های اشکال برای تا کردن کاغذ است. کار با اریگامی همچنین به دانش آموزان برای کشف شکل ها و زاویه های متجانس کمک می کند. هنگامی که فرد کاغذ را بر یک سمت تا می کند همین فرایند برای سمت دیگر تکرار می شود بدین صورت که اضلاع متجانس می باشند. مرحله ۵ تا ۹ نشان می دهد که هر مرحله تاسازی بر روی یک سمت کاغذ صورت می گیرد. دانش آموزان به جای حفظ تعاریف می توانند تعاریف خاص خود را برای تقارن، مستطیل و مثلث قائم خلق کنند. قورباغه های اوریگامی برای شروع کار ریاضی دانش آموزان در کلاس سوم عالی می باشند. برای دانش آموزان پایه بالاتر، شکل های دشوارتر همانند مکعب ها را می توان ایجاد کرد. دانش آموزان می توانند دیگر جامدات هندسی را نیز کاوش کنند. هنگامی که دانش آموزان این جامدات هندسی را خلق می کنند، می توانند ویژگی های مختلف اشکال را بررسی کنند و درک صحیحی از مشخصاتی همانند زاویه و تعداد اضلاع به دست آورند (هسکت، ۲۰۰۷، ص ۴).
اوریگامی برای آموزش و هنر:
در اواخر دوره می جی و دوره تائیشو از اوریگامی به عنوان وسیله کمک آموزشی در کودکستان ها و مدارس ابتدایی استفاده می شد؛ به ویژه از زمانی که کاغذ چهارگوش رنگی به صورت گسترده تولید شد. در آغاز دوره شووا خلاقیت در آموزش و پرورش ژاپن مورد تأکید قرار گرفت و از اوریگامی انتقاد شد، چون کودکان می بایستی با کاغذ کارهای استاندارد انجام می دادند. اخیراً مجدداً اوریگامی به عنوان یک تکنیک آموزشی مورد استقبال قرار گرفته است؛ به ویژه برای تدریس مفاهیم ارتباط بین سطح و حجم. هنر جدید اوریگامی به طور کلی تکنیک های رنگ آمیزی و برش را به کار نمی برد بلکه الگوی اصلی نشان دادن احجام است (علاء الدینی، ۱۳۸۳، ص ۹۷).
تاریخچه فراکتال:
تاریخ نگاران، سالروز تولد بحث فراکتالیسم را حدود سال ۱۹۶۰ میلادی ارزیابی می کنند. آن ها معتقدند که هندسه فراکتال در نتیجه بررسی های آقای مندلبروت در دهه های ۱۹۶۰ تا ۱۹۷۰ ایجاد شد، ولی به نظر می رشد جای پای فراکتال را می توان در نقاشی های جکسون پولاک که سال ها قبل از مندلبروت می زیست، مشاهده کرد. پولاک در یک شب طولانی ماه مارس، مستانه و در آستانه خودکشی، شالوده یکی از شاهکارهای خویش (قطب های آبی: شماره ۱۱، سال ۱۹۵۲) را بنیان گذاشت. او بوم بزرگی را کف انبارش فرش کرد و با یک تکه چوب، رنگی معمولی از یک قوطی کهنه روی بوم چکاند. این نخستین باری نبود که هنرمند یک نقاشی را قطره قطره روی بوم می ریخت. پولاک، بر خلاف خطوط شکسته ای که تماس متعارف قلم مو با بوم ایجاد می کند، تکنیکی ابداع کرد که در آن جریان ثابتی از رنگ روی بوم های افقی ریخته می شود تا خطوط پیوسته منحصر به فردی پدید آورد. در دوره پولاک، چنین پنداشته می شد که طبیعت بی نظم است و اساساً تصادفی عمل می کند (میریان، ۱۳۹۰، ص ۸۶).
فراکتال چیست؟
فراکتال یک شکل پیچیده هندسی است که از بی نهایت قطعه کوچک تر و مشابه شکل اصلی تشکیل شده باشد. ذکر یک مثال می تواند ایده و فلسفه ی اصلی فراکتال ها را بیشتر روشن سازد. فرض کنید که یک مثلث متساوی الاضلاع را پیش روی خود دارید. اگر توسط سه خط نقاط میانی سه ضلع مثلث را به هم متصل کنید حاصل یک مثلث دیگر خواهد بود که در قلب مثلث اصلی جا دارد. در این حال دقت کنید که مثلث اصلی خود به چهار شکل کوچک تر تقسیم شده است. این عمل را می توان روی هر یک از چهار مثلث فرعی تا بی نهایت تکرار کرد (میریان، ۱۳۹۰، ص ۸۸).
فراکتال ها طرح های جالب توجهی هستند که می توانند هندسه را برای دانش آموزان احیاء کنند. فراکتال ها اشیائی هستند که به نظر می رسد که به تکه های بسیاری خرد شده اند و هر تکه کپی از کل شکل می باشد. آن ها ذاتاً طرح های پیچیده ولی ساده ای هستند. فراکتال های معروف بسیاری وجود دارد که دانش آموزان می توانند ایجاد و کاوش کنند. آن ها شامل کلاه سیرپینسکی، فرش سیرپینسکی و برف دانه کاچ می باشند. این فراکتال زمانی که ساخته می شوند ممکن است برای کاوش محیط و مساحت بکار روند. مباحث محیط و مساحت با بهره گرفتن از فراکتال ها احیا می شوند. دانش آموزان به جای یافت محیط و مساحت شکل های مختلف می توانند از شی ای که ایجاد کرده اند برای کاوش این مفاهیم استفاده کنند (هسکت، ۲۰۰۷، ص ۱۰).
چگونگی ساخت انواع فراکتال:
نخست دانش آموزان می توانند فراکتال ها ریاضی دان لهستانی وارکلاو سیرپنسکی را بررسی کنند که به خاطر کار خود با فراکتال و منحنی های پرکننده فضا معروف است. دانش آموزان از مراحل زیر برای ساخت کلاه سیررپنسکی استفاده می کنند که مثلث سیرپنسکی نیز نامیده می شود.

• با مثلث متساوی الاضلاع S(0) شروع بکار کنید.
• نقاط میانی هر ضلع را به هم وصل کنید
• مثلث مرکزی S(1) را حذف کنید.
• نقاط میانی سه مثلث باقیمانده را به هم متصل کنید.
• مراحل ۲ و ۳ را تا آنجایی که می خواهید، تکرار کنید.

بعد از ساخت کلاه سیرپنسکی، دانش آموزان ممکن است چنین سؤالاتی بپرسند: وقتی که n به بی نهایت می رسد، چه اتفاقی می افتد؟ و چند نقطه حذف خواهد شد؟ قسمت زیر فرمولی برای کلاه سیرپنسکی می باشد:

• تعداد سوراخ ها:
• مساحت سوراخ جدید
• مساحت حذف شده
• مجموع مساحت باقیمانده

دانش آموزان می توانند این فرمول ها را با بهره گرفتن از کپی خود از فراکتال کشف کنند یا می توانند همین فرمول ها را از طریق فراکتال ساخته شده خود کشف کنند.
فراکتال مشابه دیگری را که دانش آموزان می توانند بسازند و ایجاد کنند، فرش سیرپنسکی است. دانش آموزان به جای استفاده از مثلث متساوی الاضلاع برای شروع فراکتال می توانند از مربع استفاده کنند. برای ساخت فرش سیرپنسکی از این راهبردها استفاده کنید:

• با مربع C(0) شروع کنید.
• مربع را به ۹ مربع متجانس تقسیم کنید.
• مربع مرکزی را حذف کنید.
• مربع های باقیمانده را به ۹ مربع متجانس تقسیم کنید.
• مرکزهای مربع های باقیمانده را حذف کنید.
• مراحل ۵-۲ را تا آنجایی که می خواهید تکرار کنید.

هنگامی که فرش سیرپنسکی ساخته شد، دانش آموزان می توانند از فرمول های زیر برای بررسی مساحت و محیط استفاده کنند. فرمول ها عبارت اند از:

• طول ضلع مربع جدید
• مساحت یک مربع
• تعداد مربع های جدید
• مساحت حذف شده
• مجموع مساحت باقیمانده